円板 の電界・電位

Question;

半径 a [m] で面電荷密度 σ [C/m^2] に帯電した薄い円板がある。
円板の中心から面に垂直に y [m] 離れた点の電界と電位を求めよ。

Direction;

パッと見て、円の中心から y[m]なので、電界は y軸方向のみに成分を持ちます。E = Ey です。
しかし、電界から先に求めようとすると大変です。

よって、先に電位から求めます。電位はθ方向では一定です。
円板全体を積分するには、半径 r の位置に角度 dθ の円弧に幅 dr を持たせて長方形を考えて、 r を 0→a まで、 θ を 0→2πまで積分します。

電位が求ればそれを yで微分して電界を求めます。

Solution;

2枚目は a → ∞ とした無限平板の電界や実際どのくらいの電界なのかを考えてみました。
a → ∞ ⇔ 無限平板とするとガウスの法則が使えて結果は一致します。