演習問題2.12 解説

2.12

Question;
電荷密度の大きさが σ [C/m^2] で、一様に帯電した半径 a [m] の薄い円板がある。円板の中心軸上で円板の中心から x [m] の点の電位と電界を求めよ。


Direciton;
対称性があるので電界は x成分しかありません。電界から先に求めることは難しいので、先にスカラである電位を求めて、x方向に微分すると電界が求まります。

円板全体を積分して電位を求めます。位置 r に微小幅 dr を考えます。半径 r 、微小角 dθ の円弧に drがあるようなイメージです。面積は円弧×幅と長方形近似で求めます。


Solution;

V = σ ( √(x^2+a^2) - x ) / 2εo   [V]
E = σ ( 1 - x / √ (x^2 + a^2) ) / 2εo   [V/m]

a → ∞ にすればガウスの法則が使える無限平板の電界に一致します。